分析法在数学分析证明中的应用

发布时间：2022-11-01 08:40:06 浏览数：次

【摘要】分析法是数学证明中常用的一种方法。这种方法可帮助初学者打开证明思路，找到解决问题的途径。主要介绍分析法在数学分析证明中的几处典型应用，使学生了解解决数学证明问题的一种方法——分析法。

【关键词】分析法；极限；单调有界收敛原理；柯西收敛准则

【中图分类号】G64 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2014）27-0283-01

初学数学分析的人往往会认为证明比计算难，常常觉得无从下手，毫无思路，而“执果索因”的分析法常可帮助我们找到解决问题的思路。因此，本文主要介绍分析法在数学分析证明中的几处典型应用，以帮助初学者了解如何用分析法解决数学分析中的证明问题。

1.分析法在根据极限定义证明极限问题中的应用

数列极限的“ε——N”定义是：设{xn}是数列，a是定数。若对任意给定的正数ε，总存在自然数N，使得只要n>N，就有|xn-a|<ε，我们就称数列{xn}收敛于a，并称数a是数极限定义是数学分析中一个非常重要的概念，用极限定义证明极限问题常采用分析法，下面举例加以说明。

2.分析法在用“单调有界收敛原理”证明数列收敛问题中的应用

单调有界收敛原理是：单调有界数列必收敛。显然用此原理证明一数列收敛，第一要证明该数列是收敛的，第二要证明该数列是有界的。此类问题的难点在于确定数列的界，而用分析法先证明该数列单调，往往会帮助我们确定该数列的界。

而由已知xn>-1显然成立，故只需证明xn<2。

可见数列{xn}的上届可能是2，以下只需证明出数列{xn}的上届是2即可，而这个结论用数学归纳法很容易证明的（本文从略）。

3.分析法在用“柯西收敛准则”证明数列收敛问题上的应用

数列的柯西收敛准则是：{xn}是收敛的？圳{xn}是基本列。

用柯西收敛准则证明数学问题时，分析法是一种非常行之有效的方法。现举例说明。

即{xn}是基本列，从而由柯西收敛准则，{xn}收敛。

综上所述，分析法在数学分析的证明中有着广泛的应用，掌握了这种证明方法，必将有助于我们解决数学分析中的证明问题，使我们处理证明问题的能力有一定的提高。