数学不枯燥,数学很好玩

在世人眼中，数学很枯燥，很乏味，但数学家却乐此不疲。从某种意义上说，数学家是一群死心眼儿。比如说圆周率，它是一个无理数，即无限不循环小数，用“π”来表示。在日常计算中，我们通常取“π”的两位小数，即3.14，如果需要再精确一些，可以适当延长小数的位数到3位、5位，甚至10位，即使计算银河系的周长，“π”只要取到39位小数，误差就不会超过一个氢原子的半径。但是数学家们还嫌不够精确，他们想要更加精确的值，所以日本数学家金田安昌要利用计算机把“π”的值一直算到60亿位小数，而俄罗斯数学家丘德诺夫斯基兄弟更把“π”的值算到80亿位小数，而且这对兄弟还想把“π”的值算到1万亿位小数，虽然那还是一个近似值。

但是如果数学只有枯燥乏味，恐怕就连数学家也会感到厌倦。其实，数学除了枯燥乏味的一面，还有另一面，就是有趣、好玩。从某种意义上说，世界上最有趣的事情，莫过于解数学题，例如证明费马大定理就是如此。

费马大定理的故事源于一个古老的数学定理，即每一个中学生都知道的毕达哥拉斯定理，在中国称为勾股定理。它的表述如下：

不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个4次幂写成两个4次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。

在这段文字后面，费马又加写了一小段话：

我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。

这就是费马大定理的由来。

在数学史上，费马大定理是一道非常著名的难题，一方面，它非常简单，一般中学生都可以理解它的含意，另一方面，它又非常复杂，几百年来，多少数学家面对它都一筹莫展。据说，费马在一本叫《算术》的书籍上记下了48个类似这样的猜想和定理，其他的猜想和定理都被数学家们一个一个证明了，唯独这一个定理始终无法证明，所以人们也称它为“费马的最后定理”。

费马大定理因其证明之难，使它名声远播。作家阿瑟·波格斯写过一个《魔王与西蒙·弗拉格》的故事，在这篇类似浮士德的故事中，魔王让西蒙·费拉格问他一个问题，如果魔王在24小时解答出来，他就拿走西蒙的灵魂，如果解答不出来，他就输给西蒙10万美金。西蒙提出的问题是：费马大定理如何证明？魔王立刻飞走了，他将地球上所有数学知识一股脑儿地搜罗起来，但是第二天，他垂头丧气地来见西蒙，承认自己失败了。魔王对西蒙说：“即使我能够在如此短的时间中掌握所有的数学知识，我也解不出这道难题。就连其他星球上最出色的数学家，也无法解开这个谜！”

魔王和外星人解不开的数学难题，最终还是由人类数学家解开了。1993年6月23日，普林斯顿大学教授安德鲁·怀尔斯在剑桥大学牛顿研究所的一个研讨会上发表他对费马大定理的证明，在这之后，怀尔斯的证明被其他数学家发现有一点瑕疵，于是他和他的学生又花了14个月的时间进行修正，1994年9月19日，一份完美的费马大定理证明终于产生，澳大利亚数学家约翰·科茨——他也是怀尔斯的博导——对这个证明的评论是：“它可与分裂原子或发现DNA的结构相比。”

费马大定理的证明是数学史上一段脍炙人口的传奇，这段传奇被西蒙·辛格完整地记录在《费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜》（广西师范大学出版社）一书中。讲述数学问题，往往要涉及许多枯燥乏味的方程公式和字母符号，但是西蒙·辛格自有办法解决，他的办法就是将费马大定理的故事与数学自身发展的历史融合起来。

热尔曼的工作大大缩小了——其实仍然是无限的——费马大定理需要证明的范围，从而激发了数学家们的研究热情。法国科学院更设立了专门奖项，以奖励能最终揭开费马大定理神秘面纱的人。在大奖的刺激下，有两位数学家，一个是加布里尔·拉梅，另一个是路易斯·柯西，都宣布自己马上就会做出关于费马大定理的完整证明。他们甚至将自己的证明思想写好，盖上图章并密封，预先存放在法国科学院里，以保护各自的证明专利权。然而，还没等他们拿出最终证明，德国数学家恩斯特·库默尔的一篇论文便给他们迎头浇上一盆冷水。库默尔在论文中指出在他们的证明中存在着一个严重缺陷，并且证明这个缺陷按当时的数学发展水平是难以解决的。

欧拉牵出热尔曼，热尔曼牵出拉梅和柯西，拉梅和柯西又牵出库默尔，而库默尔也牵出一个人来，对此事我想稍微多说两句，因为这件事正好能说明我为这篇文章起的标题《数学不枯燥 数学很好玩》。

这个新人叫保罗·沃尔夫斯凯尔，是个德国人，他的主业是干实业，研究数学只是业余爱好。后来他爱上一位姑娘，可是被对方所拒绝。由于极度失望，他决定自杀。他制定了一个周密的自杀计划，决定在午夜时钟敲响时动手。在此之前，他处理完他的生意事务，写好遗嘱，并给所有的亲朋好友写了信。一切准备就绪后，离午夜钟声敲响还有一些时间，于是他捡起一本数学书随便翻看起来，渐渐地他被书中库默尔解释拉梅和柯西失败原因的那篇论文吸引住。突然，他发现在库默尔的论述中有一个漏洞，于是他拿起笔开始进行演算，直到天色发亮才结束。自杀时间已经过去，而且沃尔夫斯凯尔也不再打算自杀了，纠正了大数学家库默尔的一个疏漏，让沃尔夫斯凯尔感到无比自豪，他撕毁了写好的遗嘱，重新写了一份新遗嘱。在1908年他去世后，他的新遗嘱被宣布，原来他把他财产的一大部分建立一个奖项，以奖给任何能够证明费马大定理的人，这是他对这个曾经挽救了他生命的复杂难题的回报。这样的故事还有许多，不再一一叙说，有兴趣者可以自己找书来看。

西蒙不但很会讲人也就是数学家的故事，也很会讲数也就是数学自身的故事，一本《费马大定理》，涉及范围从完满数、有理数、无理数、唯一数、实数、虚数，到概率、博弈、集合、悖论、群论、椭圆方程、模形式、谷山—志村猜想等内容，同时介绍了大量数学史上的经典问题，如欧拉的七桥问题、诺伊曼的三人决斗问题、希尔伯特的旅馆问题、洛伊德的智力游戏、罗素的图书管理员问题等，并且给出非常生动的说明，完全可以当作一部数论简史看待。

例如完满数，这是古希腊毕达哥拉斯学派一直研究的一组数。毕达哥拉斯学派认为，数的完美取决于它的因数，因数就是能整除原数的那些数。例如12的因数（除去该数本身）是1、2、3、4和6。当一个数的因数之和大于这个数本身时，该数称为“盈”数，所以12是一个盈数，因为它的因数加起来等于16。另一方面，当一个数的因数之和小于该数时，该数就被称为“亏”数，例如10就是一个亏数，因为它的因数（除去该数本身）是1、2和5，加起来只等于8。如果一个数的因数之和正好是这个数本身，那么这个数就是一个“完满数”，例如6的因数是1、2和3，1+2+3=6，所以6就是一个完满数。完满数在古代影响之大超过我们的想象，古希腊人认为上帝本来可以在一天内创造世界，可是他用了6天时间，因为6是一个完美数。毕达哥拉斯学派还发现，完满数总是等于一系列相邻整数之和，例如：

6=1+2+3

28=1+2+3+4+5+6+7

496=1+2+3+4+5+……126+127。

在毕达哥拉斯之后，另一位古希腊数学家欧几里得也研究过完满数，他发现完满数总是两个数的乘积，其中一个数是2的幂，另一个数是则是2的更高一级的幂减去1，如：

实际上，人们对完满数的研究一直持续到今天。完满数像完美的人一样非常稀少，几千年来，人们只找到30个完满数，最大的完满数位数为130，000位，用欧几里得方式表示就是

至于完满数的个数是有限的还是无穷的，对于这个问题，数学家们目前还在研究。

我们再看一个有趣的例子：博弈论。博弈论的思想其实古已有之，中国古代的《孙子兵法》就可以视为最早的博弈论著作，然而只有当1944年，冯·诺伊曼和摩根斯坦共同写出了划时代巨著《博弈论与经济行为》，博弈论才成为一门严密的学科。为了让人们了解这一学科，数学家们设计了一道问题，即“三人决斗”问题。问题是这样的：一次，甲、乙、丙三个人决定，通过用手枪进行三人决斗直到只剩下一个人活着为止，来解决他们之间的冲突。3人之中，甲的枪法最差，平均3次中只有1次能打中目标，乙的枪法稍好一些，每三次中有两次能够打中目标，丙的枪法最好，每次都能打中目标。为了使决斗公平起见，他们让甲先开枪，接下来是乙，再接下来是丙，每人一枪轮转下去，直到只有一人活着。问题是，甲应该首先向谁开枪？

数学家们是这样考虑问题的：如果甲选择乙作第一个目标，即使他成功了，接下来他将面对丙，而且还轮到丙开枪。因为丙是百发百中，所以甲死定了。第二种选择是首先将丙作目标，如果甲成功了，接着他将面对乙，由于乙三枪中只有两枪能够打中目标，甲还有希望活下来并反击乙。显然第二种选择要比第一种好。但是甲还有更好的选择。甲可以对空开枪，然后轮到乙开枪。乙显然会首先选择丙为目标，因为丙比甲的威胁大得多。同样的道理，如果丙活下来，他也会首先选择乙为目标。这样，甲最终将只面对一个对手，三人决斗变成两人决斗，而且还由甲先开枪。这就是“博弈论”给出的答案，它不是很有意思吗？

《费马大定理》一书如同一座数学百花园，园中群花竞相开放，让你目不暇接。你随意翻到某一页，上面讲的是“0”的发明及其应用，再翻到另一页，上面讲的是洛伊德智力游戏永远不败的证明，再随便翻一页，上面在讲朗兰兹纲领，所有的问题都是妙趣横生，让人欲罢不能，以至于我在阅读这本书时总会有一种冲动，就是想向那些厌恶数学，认为数学枯燥乏味的莘莘学子推荐这本书，我相信，在读过这本书之后，他们中一定有人将不再视数学如畏途。

我们还是回到费马大定理的证明上来。费马大定理的证明就像一项极为复杂的工程，里面一环扣一环，虽然费马大定理的证明最后是由怀尔斯完成的，但是如果没有其他数学家在前面为他铺路垫石，没有欧拉、伽罗瓦、热尔曼、拉梅、柯西、库默尔、希尔伯特、罗素、哥德尔、谷山丰、志村五郎、朗兰兹、里贝特、法尔廷斯、宫冈洋一等众多数学家为他解开前面的链环，他肯定是无法完成这项工作的，甚至连“证明了谷山-志村猜想，就自动证明了费马大定理”这个思想，也不是怀尔斯想出的，而是另一位数学家格哈德·弗赖最先提出来的，而怀尔斯的主要工作则是证明了谷山-志村猜想成立。但这并不是贬低怀尔斯工作的意义，恰恰相反，怀尔斯工作的意义已经超出了证明本身，尽管他证明的是世界上最难证明的费马大定理。

怀尔斯是通过证明谷山-志村猜想而证明费马大定理的。谷山-志村猜想是关于椭圆方程和模形式之间关系的猜想，椭圆方程和模形式本来是数学中两个不相干的领域，日本数学家谷山丰和志村五郎发现了它们之间的某种内在联系，怀疑它们有相同的DNA。怀尔斯最终证明谷山-志村猜想是正确的。怀尔斯的工作为数学证明开辟了一条崭新且宽广的道路，即如果有一个问题在某一个数学领域中无法解决，可以将它转换到另一个领域中解决，如果还不能解决，还可以转换到第三个、第四个领域，总之是带着这个问题周游整个数学王国，直到它被解决为止。

经过358年的艰难跋涉，费马大定理终于被数学家们征服了，但是正如《费马大定理》一书的作者西蒙·辛格和伯克利大学教授里贝特指出的那样，怀尔斯关于费马大定理的证明非常复杂，证明过程写了200页，而且运用了许多最新数学概念，不可能是当年费马所想到的证明，因而费马当年是如何证明这个定理的，到今天仍然是个谜，有待人们去揭开。

伽利略说：“大自然这本巨著，是用数学的语言写成的。”大自然的魅力就隐藏于数学之中，所以数学不枯燥，数学很好玩。

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