数学教学中的信息技术：基于数学功能的教学工具

摘要：数学教学中的信息技术应定位于数学功能基础上的教学工具，以反映数学学科特性。数学教学需要注重图形图像呈现、数值计算、符号运算以及编程等基本数学功能。数学功能基础上的教学加工大致有封闭与开放两种方式。教师要能充分发挥各类功能的优势，以帮助学生理解学习内容为目的，将数学教学与信息技术有机融合。

关键词：数学教学 信息技术 数学功能

一、引言

信息技术的飞速发展是改进数学教学的重要机遇。但是我们不应当把信息技术停留在评价、热情支持以及怀有希望的阶段，而应该进行一些实在分析，只有这样才能真正地解决某些教学问题[1]。深入数学学科的信息技术[2]、整合技术的学科教学知识（简称TPACK）[3]等理念有助于我们更好地理解数学教学中的信息技术。这些理念主要体现在两个方面：首先，要不要用技术、用什么技术以及如何用技术需要考虑具体内容的教学及课堂情境，力求使课内与课外、教师传授与学生自主探究达成一种平衡。也就是说，信息技术的使用是一个劣构问题。教师仅仅了解一般教育技术的原理、策略还不够。其次，为了充分体现信息技术的数学教育价值，教师对数学学科的信息技术本身要有较为深入的理解与掌握，以便信息技术与课程的互动能达到流畅程度。尽管让教师在教育和技术之间穿梭并不容易，但掌握技术不是别人的事情。为了能更好地贯彻这两个理念，我们认为，数学教学中的信息技术是数学功能基础上的教学工具。

二、数学教学中的信息技术

当前，数学课堂上的信息技术过分倚重普适类信息技术，缺少数学味，更无法反映数学学科特点。信息技术的功能更多地体现在一般教学功能（如电子白板，PPT演示）、多媒体功能（如音乐、颜色）、浅层交互功能（如浏览页面）等方面。针对数学教学的信息技术应该有专门的分类和讨论。

我们认为，按与教学内容相关程度分，用于数学教学的信息技术大致有三类。一是普适类的数学软件。如计算机代数系统（简称CAS），数学百科电子词典等。二是普适类的数学教学工具（或平台）。如Z+Z智能平台、几何画板、数学科目的题库系统或备课系统等。三是反映特定数学教学内容的课件，包含了常见的CAI的七种类型[4]。如教学演示课件、微世界环境、微课视频等。

三类技术中，普适类数学软件的数学功能最强，但教育功能最弱，通常需要教学加工。而课件，即第三类信息技术，比较关注信息技术的教学功能表现。信息技术应该是数学为基础的工具还是教学为基础的工具[5]？事实上，这两者各有优缺点，前者数学概念转移能力弱，即教育性不足；后者难以作为学生的认知工具，且缺少通用性，软件设计效益低。为了能弥合两者的距离，专家们研究出了诸如Z+Z智能平台之类的普适类数学教学工具。许多CAS在后来的版本中也加入了大量便于数学教学开发和加工的元素。针对特定内容的数学课件也在通用性上不断增强，如注重探究性、交互性课件的开发等。

三类信息技术都可以实现计算机对数学学习活动的三种水平的支持，即演示水平、验证水平和探究水平，如数学工具中的大百科词典可以作为资料支持或演示之用，而数学软件包Mathematica可以作为数学探究环境。因此，由演示到探究也可以作为以上分类的另一个标准（或维度）。

三类信息技术都能体现一定的数学功能与教育价值。但数学教学需要抽象、复杂的图形图像、数值及符号表达与处理，以满足较高层次数学思维表征需求；需要严谨、精确和形式化的数学活动过程描述；需要丰富的与数学研究相适应的探索性认知环境。因而，我们认为，数学教学中的信息技术应以数学功能为基础，在设计和开发目的、内容方面能反映数学学科特性，以更好地体现数学教育价值。

三、信息技术的数学功能及其教育价值

信息技术可以实现的数学功能很多。数学教学主要以图形图像呈现、数值计算与符号运算、编程等作为主要功能。数学教学中，它们的教育价值应该得到充分体现。下面以微积分教学为例进行阐述。

1.图形图像演示

总体而言，目前的数学教学，特别是概念教学是“重形式定义，轻意象表征”[6]的。由于担心过多使用图形图像可能会影响抽象思维，许多教师不敢用。事实上，图形图像的适当运用能提高学习效率，也能体现教师的教学智慧。数学教学中的“图形图像”主要是函数绘图和动态几何图形两方面。它的作用主要是促进学生对概念和数学问题的整体理解，能帮助其洞察所学数学内容本质，寻找解决复杂问题的途径。如教学导数概念时，需要将函数、其导函数及二阶导数甚至更高阶数的图像进行比较、分析。用图像来解释复合函数求导法则、洛必达法则等也应该能在教材或教学中得到体现，让学生理解用它们进行运算的合理性或理由，而不仅仅学习导数运算技能与技巧。

2.数值计算

传统的数学教学更多表现的是数学的连续、形式化的一面，给学生留下抽象、脱离生活实际的印象。事实上，数值计算功能和绘图功能一样具有理解数学知识、探寻解题途径等作用，理应得到重视[7]。数值化是由有限认识无限的重要方式，也是联系一般化与特殊化的重要纽带。运用数值表理解极限、用数据估计误差、通过离散形态考察函数的连续性态、寻找数学反例等等都应该在教学中得到广泛应用。微积分中的广义积分与无穷级数、函数极限与数列极限的密切联系更表明连续化与数值化应该融为一炉。教学实践表明，数学过于形式化的表达反而看不清数学知识的本来面貌，而将这些内容转化为具体的数值计算，会增进理解。例如，利用？着-？啄定义证明函数极限时，学生都知道，关键要找出？啄。他们也能熟练地利用放缩技巧和限定？啄的方法进行操作，找到？啄。但进一步问：能通过计算（通常情况下需要计算工具的支持），找到最大的？啄？事先限定？啄的邻域能否再大一点？学生并不熟练。这时，只要给定几个具体的？着值，计算出？啄，学生会对证明过程有更深刻的认识，不至于依葫芦画瓢。

3.符号运算

符号运算是信息技术数学功能重要体现。比起数值计算，符号运算不必纠结于误差控制。无论是输入、处理还是显示，它能更好地与注重形式化、符号化的数学学科相匹配，进而满足学生在更高抽象层次上进行思考与探究，使形式化的符号也能成为学生高层次的数学认知基础，也可以成为导引直觉与发现的材料，而不仅限于数值与图形[1]。简单地，如二项式定理中系数的探讨。微积分教学中，符号运算的功能更能充分体现。如函数极限■f（x）=A定义可用计算机可识别的逻辑符号表达并运算：

？坌？着（？着>0）→？埚？啄（？啄>0∧）？坌x（0<|x-x0|<？啄→|f（x）-A|<？着））），这有助于学生理解定义中的逻辑关系。

4.编程

编程并非只是计算机技术专业人员的事务。数学领域与计算机领域有着天然的联系。数学教师了解算法、编程思想和一种计算机语言是必要的，也是可行的。程序设计是通向实验数学之路[5]。仅仅通过一步到位的绘图或计算并不能挖掘数学信息技术的教育潜力。有了编程可以表现教学中的更加复杂的活动过程（如添加参数调节，拖动数学对象等），可以把复杂、抽象的推理过程转化为易理解的机械化过程（如选代，构造）。

目前许多数学软件或教学软件提供的编程环境已变得非常简单，复杂的数学功能只需一个简单、封装好的函数甚至可视化的控件对象即可实现，是一种广义上的程序设计。这样的编程环境有助于教师将编程重心放在信息技术的数学功能及教学功能表现方面，而不是过程化语言的构建技巧上。

实际教学应该将几种功能相结合（典型的如数形结合）才能更加充分发挥教育效能。目前许多专业的数学软件或数学教学平台已有一整套完善的界面交互设计功能，便于把教学设计用技术以“所见即所得”的方式表达出来。用它们制作数学功能强大、针对具体教学内容的课件也比传统方法更容易一些。

四、数学功能的两种教学加工方式

数学教学中，上述数学功能的教学加工方式大致有两种：第一种方式是教学中常见的，即将教学内容及策略与数学功能融为一体，制作成固定操作和呈现模式的课件。第二种方式是教学内容及策略与数学功能分离。例如，学习“利用定积分求平面图形面积”时，信息技术可以帮助师生完成这样的工作：①给出任意两个函数；②用计算机绘图工具画出它们图形，观察其形状及交点个数；③用CAS求解方程，求出所有交点的坐标；④用CAS计算交点之间的积分；⑤求各段积分和。无论是函数绘图、方程求解还是积分运算，数学功能的表现都是以独立的工具存在，就像粉笔一样。即使上述教学设计有所改变，如改变函数类型、个数，所需的数学功能或工具仍可适用。这无疑增强了信息技术应用的灵活性。

信息技术的教育价值体现在具体的教学情境中。无论哪种方式，只要教师的教学设计与其所用的信息技术的潜在教育价值同步，就能很好地将数学形态的信息技术教育化。当前数学教学中，第一种加工方式虽然常见，制作和运用方法也很成熟。但这种加工方式不但效率不高，而且其固定性与封闭性不便于课件中的数学功能的灵活展现，不能满足深层次数学思维的需求。因此，信息技术的数学功能应以更加开放的、独立的形态得到应用，甚至以“无课件”的方式得到应用，就像直接用字处理软件环境进行作文教学一样。只有这样，数学教学中的信息技术才可能真正成为学生的认知工具、思维工具。同时，这也是使数学教学与信息技术整合更加有效的重要手段。

五、数学教学中的信息技术应用建议

1.技术角度：既要了解各种数学功能的教学优势与缺陷，又要防止“功能固着”

实现数学功能的各种信息技术有自己的倾向、偏见和内在属性，这使它们在具体的教学任务中有比其它技术更加适用的地方。同时，现代信息技术与传统教技术不一样，具有功能不透明，发展变化快等特点。同样的《几何画板》软件，既可以用于作为制作演示课件的平台，也可用于学习的探究；既可用于平面几何，也可以用于解析几何甚至大学数学的教学。智能教学平台、CAS等更是如此。所以，教师在了解各种数学功能的同时，也要能不断跟踪数学信息技术发展状况，努力挖掘信息技术的教学潜力。这对教师提出了较高的信息技术能力要求。

2.教学角度：增进理解

数学教学中，使用数学功能的目的多种多样。但我们认为，促进学生理解所学知识的目的尤为重要。“说一个数学概念、方法或事实是彻底地理解了，是指它和现有的‘智力网络’是由更强的或更多的联系联结着”。学生对抽象知识的内部表征应该以丰富、独特、具体的形象存在。通过适当信息技术支持，可以将这些表征与联系外化，加强联结，促进“顿悟”与理解。数学学科内容较抽象。教学过程忽视理解，容易导致学生学习过程的机械化。而信息技术的数学功能能够很好地实现这些重要数学概念或活动过程的符号、数值和图形的表征与关联。

六、结束语

数学学习内容的形式化、抽象性、严谨性，都会给学习者带来学习上的困难。因此，教学活动需要利用信息技术的数学功能“淡化形式、注重实质”，提供即时验证、反馈环境，在增进理解、强化应用和培养创新能力上下功夫，促进学生知识水平的垂直增长。教学实践表明：基于数学功能的教学设计，可以让教师从“用信息技术就是用课件”的臼窠中跳出来，真正把信息技术看成与黑板和粉笔一样的教与学的工具，切实改进传统数学教学的不足。如部分内容可以按历史或认知顺序进行教学，而不仅仅依靠逻辑顺序；实现抽象知识的表征多元化与联结；更好地处理合情推理与演绎推理、一般化与特殊化、具体与抽象的矛盾关系；把学生自主探究、解决实际问题能力的培养落到实处等等。

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参考文献

[1] 张奠宙，丁尔升，李秉彝，等.国际展望：九十年代的数学教育.上海：上海教育出版社，1990.

[2] 张景中，葛强，彭翕成.教育技术研究要深入学科.电化教育研究，2010（2）.

[3] [美]全美教师教育学院协会创新与技术委员会.整合技术的学科教学知识：教育者手册.任友群，詹艺，译.北京：教育科学出版社，2011.

[4] 师书恩.计算机辅助教学.北京：高等教育出版，2001.

[5] [德]Rolf Biehler.数学教学理论是一门科学.唐瑞芬译.上海：上海教育出版社，1998.

[6] 涂荣豹.数学教学认识论.南京：南京师范大学出版社，2003.

[7] 林群.微积分让数据说话.数学教育学报，2013（5）.

[8] [美]D.A.格劳斯.数学教与学研究手册.上海：上海教育出版社，1999.

[作者：袁立新（1972-），男，江苏姜堰人，江苏扬州职业大学师范学院副教授，硕士。]

【责任编辑 刘永庆】

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